적분 계산기 – 정적분(구간 적분)·수치적분 무료·간편 계산

적분 계산기에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 적분은 함수의 “누적”을 구하는 핵심 개념으로, 곡선 아래 면적, 이동거리(속도 적분), 누적량(유량/전력), 확률밀도 누적 등 다양한 분야에 쓰입니다. 하지만 손으로 적분을 풀기 어렵거나, 함수가 복잡해서 정확한 해를 구하기 힘들 때는 수치적분으로 값을 근사할 수 있습니다. 이 적분 계산기는 함수 f(x)와 구간 [a,b]를 입력하면 사다리꼴/심프슨 방법으로 정적분 값을 계산하고, 함수 그래프와 누적 면적 그래프, 분할점 표를 함께 제공합니다.
부정적분(∫f(x)dx)은 형태가 매우 다양해 완전 자동화(CAS)가 필요할 수 있으므로, 이 페이지의 “부정적분 힌트”는 대표 기본형 안내 수준의 참고 기능으로 제공합니다. 무료로 간편하게 입력하고 바로 계산해 보세요.

적분 계산기

함수와 구간을 입력해 정적분(수치적분) 값을 계산하고 그래프/표로 확인합니다.

ULTRA

계산 종류 *

정적분은 수치적으로 계산합니다. 부정적분은 대표 형태에 대한 참고용 힌트를 제공합니다.

함수 f(x) *

x를 포함한 식을 입력하세요. 지원: + - * / ( ) ^, sin cos tan, exp, ln/log, sqrt, pi

하한 a

정적분 구간의 시작값을 입력하세요.

상한 b

정적분 구간의 끝값을 입력하세요.

수치적분 방법

심프슨은 분할수가 짝수일 때 사용됩니다(필요 시 자동 보정).

분할 수 N

구간을 N개로 나눠 근사합니다. (권장: 50~100, 심프슨은 짝수 권장)

표 표시 행 제한 *

분할점이 많을 때 표를 일부만 표시합니다(CSV에는 전체가 포함됩니다).

정적분 결과는 수치적분에 의한 근사값이며, 불연속/급격한 함수에서는 오차가 발생할 수 있습니다. 본 계산기는 참고용입니다.

계산 기준

정적분(구간 적분) 값은 수치적으로 다음 방식으로 근사합니다.

사다리꼴(Trapezoid): 구간을 작은 사다리꼴로 나눠 면적 합산
심프슨(1/3): 구간을 포물선으로 근사해 더 정교하게 합산(분할 수 N이 짝수일 때 사용)
일반적으로 N을 늘리면(예: 100 → 500) 정확도가 좋아지지만, 불연속/급격한 변화가 있으면 오차가 커질 수 있습니다.

적분 계산기 입력 방법

함수 f(x)를 입력합니다. (예: x^2+1, sin(x), (x^2+1)/(x+1)처럼 괄호를 적극 사용)
정적분을 선택했다면 하한 a, 상한 b, 분할 수 N, 방법(사다리꼴/심프슨)을 선택합니다.
결과가 이상하면 N을 늘리거나, 함수에 괄호를 추가해 다시 계산해 보세요.

적분 계산기 계산 예시

예시 1) f(x)=x^2, 구간 [0,1]에서 정적분은 이론적으로 1/3이며, 수치적분은 N을 늘릴수록 0.3333에 가까워집니다.
예시 2) f(x)=(x^2+1)/(x+1)은 x=-1에서 문제가 생길 수 있으니, 구간에 불연속이 포함되면 값이 튀거나 오류가 날 수 있습니다.

해석 가이드

계산 결과는 “정확한 해”가 아니라 “근사값”입니다. 심프슨은 보통 같은 N에서 사다리꼴보다 정확한 경향이 있지만, 함수 성질에 따라 달라질 수 있습니다. 함수 그래프를 함께 보고, 구간에 급격한 변화/불연속/분모 0이 있는지 확인한 뒤 N을 조절하면 신뢰도를 높일 수 있습니다. 누적 면적 그래프는 “어디에서 면적이 많이 쌓이는지”를 직관적으로 보여주므로, 물리/공학 누적량 해석에도 도움이 됩니다.

자주 묻는 질문 FAQ

정적분과 부정적분은 무엇이 다른가요?

정적분은 구간 [a,b]에서의 누적값(면적/누적량)을 “숫자”로 구합니다. 부정적분은 ∫f(x)dx처럼 “원시함수(미분하면 f(x)가 되는 함수)”를 구하는 것입니다. 이 계산기는 정적분을 수치적으로 계산하고, 부정적분은 대표 기본형 힌트를 참고용으로 제공합니다. 다음 행동으로, 정확한 원시함수가 필요하면 교재/강의 또는 CAS 도구로 검증해 보세요.

심프슨과 사다리꼴 중 무엇이 더 좋나요?

많은 경우 심프슨이 더 정확한 경향이 있지만, 함수가 매끄럽지 않거나 구간에 급격한 변화가 있으면 결과가 달라질 수 있습니다. 이 계산기는 두 값을 함께 보여 비교할 수 있게 했습니다. 다음 행동으로, N을 100→200→500처럼 올리며 값이 안정적으로 수렴하는지 확인해 보세요.

분할 수 N은 얼마나 주는 게 좋나요?

보통 50~200에서 시작해 보고, 값이 불안정하면 500 이상으로 올려보는 방식이 실무적으로 많이 쓰입니다. 다만 N이 너무 크면 계산 시간이 늘고, 함수 평가가 실패할 수 있습니다. 다음 행동으로, 값이 크게 흔들리면 구간을 나눠(예: [0,1]을 [0,0.5], [0.5,1]) 따로 적분해 합산하는 방법도 고려하세요.

계산이 실패하거나 이상한 값이 나와요. 왜 그런가요?

함수 입력이 지원 범위를 벗어났거나, 구간 안에 불연속(분모 0), 로그/루트의 정의역 문제(음수 로그 등)가 포함되면 실패할 수 있습니다. 또한 괄호가 부족하면 의도한 식과 다르게 해석될 수 있습니다. 다음 행동으로, ( )를 적극 사용하고, 구간에 정의되지 않는 점이 없는지 먼저 확인하세요.

이 계산기로 부정적분(정확한 식)을 구할 수 있나요?

이 페이지의 부정적분 기능은 “기본형 힌트” 수준이며, 모든 형태의 기호적분을 완전 자동으로 풀어주는 CAS가 아닙니다. 복잡한 함수는 치환/부분적분 등 풀이가 필요할 수 있습니다. 다음 행동으로, 정적분 값이 필요하면 수치적분 모드를 사용하고, 원시함수 식이 필요하면 공인된 적분 도구나 교재 해설로 검증하세요.

주의사항/면책

본 계산기는 무료·간편·바로 계산을 위한 참고용입니다. 정적분 값은 수치적분 근사값이며, 불연속/급격한 변화/정의역 문제에서 오차 또는 계산 실패가 발생할 수 있습니다.