미분 계산기

미분 계산기 | 무료 계산기

미분 계산기에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미분은 함수의 변화율을 구하는 핵심 개념으로, 수학(미적분)뿐 아니라 물리·공학·경제 모델링에서도 자주 등장합니다. 하지만 손으로 도함수를 구하는 과정은 규칙이 많고, 계산 실수도 쉽게 발생합니다.
이 페이지의 미분 계산기는 함수 f(x)와 기준점 x₀를 입력하면 수치 미분(근사)으로 f′(x) 값을 계산하고, 구간 내 변화까지 그래프와 표로 보여줍니다. 필요하면 2차 미분 f″(x)도 함께 확인할 수 있어, 곡률/오목·볼록 감 잡기에도 도움이 됩니다. 무료·간편하게 바로 계산하되, 결과는 참고용으로 활용하세요.

미분 계산기
미분 계산기
함수 f(x)를 입력하면 수치 미분으로 f′(x) (선택 시 f″(x))를 계산하고 그래프·표로 보여줍니다.
ULTRA
지원: + - * / ^ ( ), sin cos tan exp log sqrt abs, 상수 pi e (예: sin(x), log(x), sqrt(x))
함수에서 사용할 변수 기호를 선택하세요(기본 x).
1차 또는 2차 미분을 선택하세요.
이 점에서의 도함수 값을 요약으로 보여주고, 주변 구간 그래프/표를 생성합니다.
x0±range 범위를 계산합니다(예: range=2이면 [x0-2, x0+2]).
표/그래프에 사용할 점 개수입니다(권장 11~51).
수치 미분 간격입니다. 너무 작거나 크면 오차가 커질 수 있습니다.
표가 길어질 때 일부만 표시합니다(기본 100).
수치 미분은 근사값입니다. 특히 log/sqrt 등 정의역 제한 함수는 입력 구간을 주의하세요.

계산 기준

  • 1차 미분(중심차분): f′(x) ≈ ( f(x+h) − f(x−h) ) / (2h)
  • 2차 미분(중심차분): f″(x) ≈ ( f(x+h) − 2f(x) + f(x−h) ) / h²
  • 이 계산기는 위 근사식을 사용하므로 h 선택에 따라 결과가 달라질 수 있습니다.

미분 계산기 입력 방법

  1. 함수 f(x)에 식을 입력합니다. 예: x^2 + 3*x + 1, sin(x), log(x)
  2. 변수(기본 x)를 선택합니다. 함수에서 쓰는 문자와 같아야 합니다.
  3. 기준점 x₀를 입력합니다. 이 점에서의 도함수 값이 요약으로 표시됩니다.
  4. 구간 반경(range)과 샘플 개수(steps)를 정하면 x₀ 주변의 표/그래프가 생성됩니다.
  5. 미분 간격 h는 보통 1e-5가 무난하지만, 함수 성질에 따라 조정해 보세요.

미분 계산기 계산 예시

  • 예시 1) f(x)=x^2, x₀=3이면 이론적으로 f′(3)=6입니다. 계산기에서 f′(3)이 6에 가깝게 나오면 정상입니다.
  • 예시 2) f(x)=log(x), x₀=1이면 f′(1)=1입니다. 단, 구간에 0 이하가 포함되면 log 정의역 때문에 계산이 실패할 수 있습니다.

해석 가이드

f′(x)는 “그 점에서 얼마나 빠르게 증가/감소하는지”를 뜻합니다. 값이 크면 변화가 가파르고, 0에 가까우면 완만합니다. 2차 미분 f″(x)는 “기울기의 변화(곡률)”를 보여줍니다. f″(x)>0이면 아래로 볼록(오목), f″(x)<0이면 위로 볼록 경향을 참고할 수 있습니다. 결과가 이상하게 튀면 h를 바꾸거나, range/steps를 조절해 구간을 좁혀서 확인하는 것이 좋습니다.

자주 묻는 질문 FAQ

이 계산기는 ‘정확한 도함수’(기호 미분)인가요?

아니요. 이 계산기는 중심차분 기반의 수치 미분(근사) 결과를 제공합니다. 그래서 이론값과 아주 비슷하지만, 반올림/부동소수 오차가 남을 수 있습니다. 정답이 기호식으로 필요한 문제라면, 이 계산기는 검산·감 확인 용도로 쓰는 것이 좋습니다.

h는 작을수록 무조건 좋은가요?

항상 그렇지 않습니다. h가 너무 작으면 (f(x+h)-f(x-h))가 매우 작아져 숫자 오차가 상대적으로 커질 수 있습니다. 반대로 h가 너무 크면 근사 자체가 거칠어져 오차가 커질 수 있습니다. 보통 1e-5 전후로 시작해, 값이 불안정하면 1e-4 또는 1e-6로 비교해 보세요.

log(x), sqrt(x) 같은 함수에서 오류가 나는 이유는 무엇인가요?

이 함수들은 정의역 제한이 있습니다(예: log(x)는 x>0, sqrt(x)는 x≥0). 수치 미분은 x±h를 계산하므로, 기준점은 괜찮아도 주변점에서 정의역을 벗어나면 실패합니다. range를 줄이거나 x₀를 정의역 안쪽으로 옮겨 다시 계산해 보세요.

도함수가 ‘튀는’ 그래프가 나오는데 정상인가요?

함수가 급격히 변하거나, 불연속/뾰족점(절댓값, 구간함수) 주변이면 수치 미분이 불안정해질 수 있습니다. 또한 steps가 너무 적으면 그래프가 거칠게 보일 수 있습니다. h 조정 + steps 증가(예: 21→51)로 안정성을 확인하는 것이 좋습니다.

2차 미분은 언제 유용한가요?

최대/최소 판단(증가→감소 전환)이나 오목/볼록(곡률) 감 잡기에 도움이 됩니다. 예를 들어 f′(x)가 0 근처이고 f″(x)>0이면 최소점 후보로 해석할 수 있습니다(참고용). 다음 행동으로는 “극값/증감” 문제 풀이 시 x₀ 주변 구간을 더 좁혀 재확인해 보세요.

주의사항/면책

본 계산기는 무료·간편·바로 계산을 위한 정보형 도구이며, 결과는 참고용입니다. 수치 미분은 근사이므로, 시험/과제에서 요구하는 풀이 방식(기호 미분)과 다를 수 있습니다.

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