미분 계산기에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미분은 함수의 변화율(기울기)을 구하는 핵심 도구입니다. 속도·가속도 같은 물리 문제부터 최적화, 그래프 해석, 머신러닝까지 다양한 분야에서 사용됩니다. 하지만 수식이 조금만 복잡해져도 곱의 미분, 나눗셈 미분, 연쇄법칙이 섞이면서 계산 실수가 자주 발생합니다. 이 미분 계산기는 수식을 입력하면 도함수(미분 결과)를 무료로 간편하게 만들어 주고, 특정 x에서의 값과 그래프·표까지 참고용으로 확인할 수 있습니다. 그래프를 함께 보면 “어디서 증가/감소하는지”, “기울기가 얼마나 큰지”를 직관적으로 이해하는 데 도움이 됩니다. 결과는 참고용이며, 정의역(ln, sqrt, 분모 0 등)과 단순화 과정은 반드시 함께 확인하세요.
목차
계산 기준
미분은 아래 규칙을 조합해 계산합니다.
- (x^n)’ = n·x^(n-1)
- (u+v)’ = u’ + v’, (u−v)’ = u’ − v’
- (u·v)’ = u’·v + u·v’
- (u/v)’ = (u’·v − u·v’)/v^2
- 연쇄법칙: (f(g(x)))’ = f’(g(x))·g’(x)
- 대표 함수: (sin x)’ = cos x, (cos x)’ = −sin x, (exp x)’ = exp x, (ln x)’ = 1/x
계산기에서는 위 규칙을 바탕으로 도함수를 구성해 출력합니다.
미분 계산기 입력 방법
- 수식을 입력합니다. 예:
sin(x)+x^2,(x^3+2x)/(x-1),exp(x),ln(x) - 미분 변수를 선택합니다(기본 x).
- “특정 x에서 값 계산” 또는 “구간 그래프”를 선택하면 f(x), f’(x)까지 함께 확인할 수 있습니다.
- ln(x), sqrt(x), 분모가 있는 식은 정의역 때문에 특정 구간에서 값이 나오지 않을 수 있으니 범위를 조심해서 잡으세요.
미분 계산기 계산 예시
예시 1) f(x)=x^3+2x
- f’(x)=3x^2+2
- x=1이면 f(1)=3, f’(1)=5
예시 2) f(x)=sin(x)·x^2
- 곱의 미분 + 연쇄법칙이 함께 적용되어 f’(x)를 구성합니다.
- 그래프 모드로 보면 x가 커질수록 x^2가 영향을 크게 주는지 확인할 수 있습니다.
해석 가이드
- f’(x) > 0인 구간: 함수가 증가하는 경향(오르막)
- f’(x) < 0인 구간: 함수가 감소하는 경향(내리막)
- f’(x) = 0 근처: 극값 후보(최댓값/최솟값 가능)
- 정의역 이슈(ln, sqrt, 분모 0)가 있으면 특정 x에서 값이 “없을 수” 있으니, 수식의 조건을 먼저 점검하는 습관이 중요합니다.
자주 묻는 질문 FAQ
미분 계산기 결과가 교과서 답과 모양이 다른데 틀린 건가요?
도함수는 “같은 함수”라도 식의 형태가 여러 가지로 표현될 수 있습니다. 예를 들어 2x + x + x는 3x로 정리되지만, 정리 전/후 모양이 달라 보일 수 있습니다. 따라서 모양이 다르더라도 같은 값으로 평가되는지(특정 x 대입), 또는 정리 규칙으로 변형 가능한지 확인해 보세요. 특히 곱·나눗셈·연쇄법칙이 섞이면 전개/정리 방식에 따라 표현이 많이 달라질 수 있습니다.
ln(x)나 sqrt(x)가 포함되면 왜 그래프가 이상해질 수 있나요?
ln(x)는 x>0에서만, sqrt(x)는 x≥0에서만 정의됩니다. 또한 분모가 0이 되는 지점도 정의역에서 제외됩니다. 그래프 범위에 이런 구간이 포함되면 값이 존재하지 않는 점이 생기고, 계산기에서는 참고용 표시를 위해 일부 값을 대체 처리할 수 있습니다. 가능하면 정의역을 먼저 정하고(예: x>0), 그 안에서 범위를 설정해 보세요.
x^x 같은 형태도 미분이 되나요?
일반적인 거듭제곱 u^w는 단순 규칙(상수 지수)보다 복잡합니다. 보통 u^w = exp(w·ln u)로 변환한 뒤 연쇄법칙을 적용합니다. 이때 ln(u) 때문에 u>0 조건이 붙는 등 정의역이 중요해집니다. 계산기 결과는 참고용으로 확인하고, 제출용이라면 변환 과정과 조건을 함께 정리하는 것을 권장합니다.
“특정 x에서 값 계산”은 어떤 상황에 유용한가요?
도함수 식을 얻고 나면, 실제 문제는 “x=1에서 기울기(변화율)가 얼마인가?”처럼 수치 평가를 요구하는 경우가 많습니다. 이 기능은 f(x)와 f’(x)를 같은 x에서 동시에 보여줘서, 그래프 해석(증가/감소)과 수치 비교를 빠르게 할 수 있습니다. 특히 극값 후보 확인이나 단위 시간당 변화량 점검에 도움이 됩니다.
계산기 결과를 과제/시험 답안으로 그대로 써도 되나요?
계산기는 검산과 학습 보조에 유용하지만, 입력 수식의 해석 방식, 정리(단순화), 정의역 조건에 따라 표현이 달라질 수 있습니다. 따라서 최종 제출 전에는 (a) 어떤 규칙을 썼는지, (b) 정의역/조건이 무엇인지, (c) 간단한 대입 검산을 한 번 하는 습관이 안전합니다. 다음 단계로는 “그래프 모드”로 증가/감소 구간을 확인해 보거나, 필요하면 극값/최적화 계산기와 함께 비교해 보세요.
주의사항
미분 계산기는 참고용입니다. 복잡한 특수함수, 절댓값, 구간함수, 기호 상수 등은 지원이 제한될 수 있습니다. ln/sqrt/분수 형태는 정의역에 따라 값이 달라질 수 있으므로, 범위 설정과 조건 확인을 먼저 진행하세요.